Зачем вводить понятия "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" чисел в школьный курс математики? Наибольший общий делитель (НОД) – определение, примеры и свойства

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел и добавим к ним недостающий множитель 5 из разложения второго числа. Получаем: 2*2*3*5*5=300. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c , на которое и a , и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

• числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так .
• обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие - нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Памятка: Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу b называют натуральное число a , которое делится на b без остатка. Если число b - делитель числа a , то a кратно числу b . Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка: Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.

Определение как найти НОД в общем случае: Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …,НОД(d k-1 , a k)=d k .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение.

В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ;60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида:570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , тоd 4 =НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть,НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Пример.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Решение.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 ,294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

К началу страницы

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.

Пример.

Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .

Решение.

Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства:231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно,НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел−231 и −140 равен 7 .

Ответ:

НОД(−231, −140)=7 .

Пример.

Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .

Решение.

При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно,НОД(−585, 81, −189)=9 .

Ответ:

НОД(−585, 81, −189)=9 .

35. Корені многочлена. Теорема Безу. (33 и выше)

36. Кратні корені, критерій кратності кореня.

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми .

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа - 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое - 8128 - стало известно в I в. н. э. Пятое - 33 550 336 - было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Множество делителей

Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа 140. Очевидно, что у числа 140 не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:

Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Затем - те, которые содержат в себе три простых делителя:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:

Все найденные нами делители образуют множество делителей числа 140, которое записывается с помощью фигурных скобок:

Множество делителей числа 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества ) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа 140» будем писать «Д(140)». Таким образом,

Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

мы получаем:

Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.

От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел 140 и 105 равны соответственно:

ПД(140) = {2, 5, 7}.

ПД(105) = {3, 5, 7}.

Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа 140 на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД(140) - только один. Множество ПД(140) - это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа 140». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.

Сокращение дробей. Наибольший общий делитель

Рассмотрим дробь

Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя (105) и делителем знаменателя (140). Взглянем на множества Д(105) и Д(140) и выпишем их общие элементы.

Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};

Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Общие элементы множеств Д(105) и Д(140) =

Последнее равенство можно записать короче, а именно:

Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}.

Здесь специальный значок «∩» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д(105) ∩ Д(140)» читается «пересечение множеств Дэ от 105 и Дэ от 140».

[Заметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение , которое обозначается значком «∪» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:

ПД(105) = {3, 5, 7};

ПД(140) = {2, 5, 7};

ПД(105) ∪ ПД(140) = {2, 3, 5, 7}. ]

Итак, мы выяснили, что дробь

можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству

Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}

и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):

Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число 35, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД ) чисел 105 и 140. Это записывается как

НОД(105, 140) = 35.

Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:

НОД(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Отсюда видно, что

НОД(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

В этом случае,

НОД(42, 55) = 1.

Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми . Если из таких чисел составить дробь, например,

то такая дробь является несократимой .

Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:

Здесь предполагается, что a и b - натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.

Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное

Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:

Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 2 ∙ 2 (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби - на 3 («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как 105, так и 140) являются делителями числа 420, а число 420, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, - и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК ) чисел 105 и 140. Это записывается так:

НОК(105, 140) = 420.

Приглядевшись повнимательнее к разложению чисел 105 и 140, мы видим, что

105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).

Точно так же, для произвольных натуральных чисел b и d :

b ∙ d = НОК(b , d ) ∙ НОД(b , d ).

Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12.

Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:

Пример : НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Пример:

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами .

Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

• Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
• Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ).
• Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ).

Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

• Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:

и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n :

Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ).

Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами:

Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

— это и есть искомый НОД.

Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа - результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:

1. Разложить делители чисел на простые множители:

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа - делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:

НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД:

Найти НОД 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12

Второй способ записи НОД:

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}